日本語に訳すとどちらも同じ「許す」ですが、英語の場合シチュエーションによって使い分ける必要があります。
"permit"は「（何か他人の申し出を法律や規則に基づいて）許可する」という意味、"forgive"は「（他人の過失や罪を）許す」という意味になります。
permitの意味
"permit"には、「許可する」というニュアンスがあります。
また上記のとおり「規則や法律に基づいて」許可するという意味も持ちます。
つまりpermitを使う文章の内容は「この学校に入学することを許可する」などという場合に使うことになりますし、用法は permit 人 to do となります。
forgiveの意味
"forgive"は「他人の過失や罪を許す」という意味です。
つまりforgiveを使う文章の内容は「彼はあなたのミスを許してくれるだろう」などといった内容になり、用法は forgive 人 for （罪）となり「人を（罪）に関して許す」といった意味になります。
日本語で「許す」permit と forgive 何が違う？
日本語に訳してしまうと同じ「許す」となりますが、英語では根本的に「許す」にも色々な種類がありそれをシチュエーションによって使い分けなければいけません。
それぞれの単語自体が持つニュアンスを説明することによって２つの単語が本質的にちがう状況に用いられる表現だということを説明しました。
permitとforgive同じ「許す」でもシチュエーションは全然違う
英語を日本語で覚えようとしてしまっている日本人は多いです。
本来２つの全く異なる文化から発展した概念も全く異なる２つの言語であり、必ずしも１対１対応するとは限らない英語と日本語ですが、単語帳などで単純に丸暗記してしまっている人が多いです。
その結果生じてしまう"permit"と"forgive"の勘違いを、ニュアンスの違いから説明しました。
