「初めて」は、人生で経験のないことを、まさに初めて行う事で副詞的な活用が多いです。
それに対して「始めて」は、人生で経験があり、再度行う事で動詞的な活用が多いです。
言葉で話す際は、特に両者の違いを意識することはありませんが、文章などでは間違いやすい単語と言えるかもしれません。
「初めて」は、人生ではじめて行う際に使う
「初めまして、〇〇と申します。」
この場合、相手と出会ったことが無ければ、初めまして
「始めて」は、人生で経験がある場合に使う
今日も、仕事をはじめる。
この場合、仕事自体は、何度も経験しているため、「今日も、仕事を始める」が正しい。
「初めて」と「始めて」の用法や用例
例（初めて）
彼と初めてデートする。
この食べ物は、人生で初めて食べる。
例（始めて）
一日の始まりは、朝の入浴からです。
今日も、彼氏の愚痴が始まった。
など
間違いやすい単語の違い
よく文章などで、初めてと始めてを間違って使っているのか、そういった文章を目にします。
当然、たいしたことないし、わかるのですが。
しっかりとした機関などで、間違っていると、すこし不信感が湧くこともあります。
