余りは「多すぎて予定以上になったもののこと」。

「余るもの」と言い換えると分かりやすい。

残りは「時間が過ぎてもまだあるもののこと」。

「残るもの」と言い換えると分かりやすい。

どちらの言葉もはみ出たイメージの言葉になり同じように使えます。

「余りあるお金」と言うと多くのお金のことで、「残りわずかな人生」だと少ない人生のことを言います。

「余り」はオーバーしたもの

「余り」はある基準以上になってはみ出たもののこと。
例えば。

「5割る4の割り算で0.25の余りが出た」「会の予算が使いきれずに少し余りが生じた」「余生には余りある時間がある」「彼らの言動は目に余るものだ」「分配した後余りが出たら、分配した人のものだ」「余りの小銭を貯めてまとったお金にした」などと使います。

「残り」は時間が経過しても後にまだあるもの

「残り」には「留まる」「なくならないでまだある」「消え去らないでまだあり続ける」「後の世に伝わる」など様々な意味合いが含まれています。
例えば「あなたはここに残りなさい」「時間が経ったのにまだ消えないで煙は残っていた」「今日は居残りで残業だ」「どうしても事故の後遺症は残る」「あの偉人の功績は後の世に残るだろう」などと使います。

お金が残ったのでいくらぐらい余ったか計算した。

例えばクラス会で会費を集金し食事代を払った後、喫茶店でコーヒーを飲んだらいくらか残ったので数えたところ、5,421円であった。

参加者の了解を取り次回の案内通信費や幹事の会合費用に当てることにした。

この場合、「残ったお金」=「クラス会費の余り」なので「残り」=「余り」と同じように使えることになります。

「余り・残り」は後になっても消えないもののこと

「余り」はある基準に対して、オーバーしているもののことで例えば、「割り算の余り」「会費の余り」「余りある時間」「余りにも酷い」「人生の余り」「余り物を公平に分配した」などと使います。
「残り」は「残された遺族」「何回濾過しても何か残るものがある」「残り者には福がある」「どうしても残りたいなら勝手にしたらよい」などと使います。

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