「ファーストネーム」は日本語の「苗字」に対するいわゆる「下の名前」の方を表す言葉です。
語源は、英語（first name）からきています。
海外では「名前」「ミドルネーム」「苗字」の順に名前を書くことから、「1番目」を表す「ファースト」という言葉を冠しています。
日本人にとっては意味がわかりづらい言葉かもしれませんね。
氏名の「名」の部分
「ファーストネーム」は日本語で言う「苗字と名前」の「名前」の方を表す言葉です。
「ファースト」とは「一番め」を表す英語で、海外では日本でいう「下の名前」を一番はじめに書くことからこう言います。
ちなみに苗字のことは「ラスト（一番後ろに書くことから）ネーム」、もしくは「ファミリーネーム（家族に共通しているので）」と言います。
「ファーストネーム」の使われ方
NHK英語ニュースでは、
今日から日本語の氏名を
姓（ラストネーム）
名（ファーストネーム）
の順番で紹介するそうです。
【例】
これまで: Taro Yamada
これから: Yamada Taro
となるそうです。
外国人にとっては日本語の苗字と名前はどっちかどっちか分かりにくいから、今後はもっと混乱を招きそうです。
「What is your first name? (ホヮット イズ ユア ファーストネーム？)」
海外で「What is your first name? (ホヮット イズ ユア ファーストネーム？)」と訊かれたら、あなたの下の名前を伝えましょう。
「family name（ファミリーネーム）」の場合は苗字を答えます。
middle name(ミドルネーム)を訊かれることは少ないですが、そのようなときは「Japanese have no middle name.(ジャパニーズ ハヴ ノー ミドルネーム)」（日本人にはミドルネームはありません）と答えましょう。
「ファーストネーム」についてのまとめ
「ファーストネーム」は日本語で言う「姓名」の「名」の方を表す言葉です。
「ファースト」とは「一番め」を表す英語で、海外では日本とは姓名の書く順番が異なり、いわゆる「下の名前」を先に書くことからこう言います。
反対に苗字を表す言葉は「最後」という意味の「last」という単語を使って「ラストネーム」と呼びます。