「リーマン積分∫」と「ルベグ積分∫」と「∬(逐次積分とは別概念)」と「∮」∫はsが変化したものです
∫とはすなわち、和を取ると言うことなのです。
リーマン積分ルベーグ積分では同じ∫を使いますがこれは、取っている和が別となります
∬は二重積分と言い函数のグラフとして得られる曲面とその函数の定義域を含む平面との間に挟まれる領域の体積を表します 逐次積分で計算出来る場合もありますが別概念です
∮とはこれは周回積分記号と呼ばれ線積分をするときに使われます
線積分とは曲線に沿って評価された関数の値についての積分の総称です
「リーマン積分∫」の意味
リーマン積分は∫f(x)dxのように表されます
リーマン積分とはリーマン和の合計であります
リーマン和とは?
Σf(t_i)(x_(i+1)-x_i)で表され曲線の下側とx軸に囲まれてにできる図形の面積と
等しく(近似ではあるが、その誤差はいかほどでも小さくなるこれはリーマン和が収束する(極限が存在する)と言うことであり、逆にリーマン和が収束しない時リーマン積分は定義されない)
すなわち、∫f(x)dxとは
∫=Σ、f(x_i)=f(x){i=1,2,3,…},dx=(Δi)x{Δi=x_(i+1)-x_i}と言う形だと考えて頂ければ分かりやすいと思われます
「ルベグ積分∫」の意味
ルベグ積分では∫fdμと言うように書きます
簡単に言うと
これは、リーマン和の代わりに面積や体積の概念を一般化したもの測度μを使って
曲線のしたに出来る図形を等高線状に切って出来た平面図形(この面積が測度μとなる)と高さを掛け合わせたもの
ルベーグ和といい 等高線の間隔を半分にしていったときのルベーグ和の極限がルベグ積分の値となります
なので、dxでなくてdμと言うわけです
ただし、ルベグ積分の教科書でも一部の部分で∫fdxと書いている場合があります
これは、リーマン積分、ルベグ積分の値が両方とも積分可能な時に
一致する為であります 区別する必要がなくなると言う訳ですね
「∬(逐次積分とは別概念)」の意味
二重積分∬はなぜこのような記号を書くのでしょうか
これは、計算上の都合が良いからで
f の重積分が絶対可積分であるとき
∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dx)dy=∫(∫f(x,y)dy)dxと逐次積分で計算出来るのです
各変数毎に分けて積分でき∫二回と言うイメージになるからです
注意して頂きたいのは、∬f(x,y)dxdyと∫(∫f(x,y)dx)dy,∫(∫f(x,y)dy)dxは別の概念で
あり∫(∫f(x,y)dx)dy=∫(∫f(x,y)dy)dxが成立するとは限らない事に気をつけてください
「∮」 の意味
まずは、例で線積分の説明をします
複素平面に置ける原点を中心とする半径1の円cを一周した積分f(z)=1/zとする
∮_cf(z)dz=∫{0→2π}1/e^(iθ)・ie^(iθ)dθ=2πi
ですので線積分は積分路を書かないと値は特別な場合を除いて分かりません
∮は曲線が単純閉曲線を一周したと言う意味です
単純閉曲線?
自己交差を持たない閉曲線です
線積分には、曲線の形に関係なくただ単純閉曲線を一周した物に対する定理があります
上の例を見て貰えば分かるように円を一周した事を普通の積分記号で書くのには
曲線の形を特定し、媒介変数で表し、曲線の動きによって媒介変数がどのように動くか確かめる
必要があると分かって貰えたと思います
しかし、∮を使えば、曲線の形や積分の範囲を気にする事なく簡単に
例えば
f(z)は領域cで正則ならば∮_cf(z)dz=0
と言う風に書けちゃう場合もあります ちょっと得した気分ですよね