どちらも大勢の人の前で何かを行うことをいいますが、「公演」は、演劇や演奏あるいは演舞など芸術性や娯楽性のあるものを行う場合に使用されます。
「講演」は、啓蒙性や学問性のある演題沿って話をする場合に使用されます。
「公演」の意味
開国時に欧米からPerformanceやConcertという言葉（概念）が入ってきた時、その訳語として「大勢の人の前」を強く意識し「公（おおやけ）」の文字が使用されたものと思われます。
意味としては、大勢の人の前で、演劇や演奏あるいは演舞を行うことです。
「講演」の意味
開国時に欧米からRectureという言葉（概念）が入ってきた時、その訳語として「啓蒙性や学問性」を強く意識し「講」の文字が使用されたものと思われます。
意味としては、大勢の人の前で、ためになる話をすることです。
「公演」と「講演」の用法や用例
演ずるものの内容が異なるだけなので、用例はほぼ同じといえます。
例：明日XXの公演を行う。
明日OOの講演を行う。
用例は、前述のように行うものの内容によって、あるいは「公」が、またあるいは「講」が使用されます。
まとめ
芸術性や娯楽性のあるものが演じられれば「公演」で、啓蒙性や学問性のある話がされれば「講演」となります。
ところで、落語家が大勢の人の前で話をすれば、それを何というのでしょう。
たぶん公演でしょうね。
しかし最近は大学教授の肩書を持ち、啓蒙的な話をする落語家も何人かいるようです。
この場合は講演でしょうか。
そういえば「はなし」にも「話」と「噺」の同音異義語がありますよね。
きっと「噺」をすれば「公演」、「話」をすれば「講演」なのでしょうね。