煩わしいは「物事が込み入って複雑な気持ちのこと」。
「煩雑」「うんざり」と言い換えると分かりやすい。
面倒は「手間ひまが掛かり解決はすぐに出来ないこと」。
「めんどくさい」と言い換えると分かりやすい。
厄介は 「解決に手間ひまがかかり、出来たら避けたいこと」。
「迷惑」と言い換えると分かりやすい。
「厄介」が一番避けたい事になります。
「煩わしい」は物事が複雑に絡まっていることです。
「煩わしい」は物事を解決しようにもいろいろな事情が重なり、煩雑な調整が必要と思われるため、気持ちが重く悩むことです。
語源は熱があって頭が痛むこと。
ひいては悩ましいことです。
例えば「忙しい時に煩わしいことを言うな」「煩わしいことは御免だ」「御手を煩わせまして恐縮です」と使い、熟語には「煩悩」「煩雑」「煩多」「煩悶」などがあります。
「面倒」は解決が簡単には出来ないことです。
「面倒」は解決には手間や調整のため時間が掛かる意味のため、「厄介」と同義に使われることがあります。
例えば「役所の申請手続きが面倒だ」「どうやら面倒なことになった」「この喧嘩の仲裁の依頼は面倒になりそうなので丁重にお断りしましょう」と使い、「厄介」と置き換えても意味は変わりません。
また、「世話」をする意味では「病人の世話をした」「幼児の世話を頼まれた」と使います。
「厄介」は解決に手間暇が掛かることは「面倒」と同じですが迷惑なことの意味がやや強いです。
「厄介」は「面倒」と同義に使われますが、迷惑なことの気持ちが「面倒」よりも強いのです。
例えば「御面倒ですが一晩御厄介になります」「厄介を掛けて申し訳ありません」「厄介払いが出来た」という場合は「自分や相手が迷惑を被る」と言う意味になり、「面倒」よりは少し「自分や相手への迷惑行為」のニュアンスが強くなります。
「煩わしい」「面倒」「厄介」は出来たら避けたいことです。
「煩わしい・面倒な・厄介な」ことは、自分や他人に時間や手間を割いてもらうため出来たら避けたいことになります。
時間や手間の程度が異なることや迷惑度も違います。
「厄介」が一番強い表現になり、「厄」と言う字があり最も避けたいことになります。
「煩わしい」「面倒」は仕方がないが受け入れても良いという程度ですが、「厄介」はどうしても避けたい「迷惑」なことの意味合いが強くなります。