「登る」は主に山の高い位置に移動する場合に使います「昇る」は太陽や月が高い位置に移動する場合につかいます
「上る」はそれ以外、何かの状態が高い位置や中心にちかい場所に移動する場合に使う事が多いです
同じような言葉で使い分けがわかりにくい場合には「太陽が昇る」「山に昇る」「温度が上る」という使い方を例にして覚えておくといいでしょう。
「昇る」の意味と用法
「昇る」は太陽や月などの天体が高い位置に移動する時につかいます。
また人に使う場合にはその人が太陽に月になぞらえる程のくらいの高い人で、そういう人が位が上がる事を刺します。
「太陽や月に準ずるくらいの人」というと、昔の昔の物語などでは、天皇やそれに準ずる人です。
また僧侶やくらいの高い大臣がその位が上がる場合に使います。
また「太陽や月に準ずるほど高い」航空機が高い所に移動ずる場合も「昇る」という漢字をつかいます
「登る」の用法
「登る」は人や動物、または車等が、地面の低いところから高い所に移動する様子を指して使います。
動物や人は手足を使って、そして車は車輪を使って地面や山の高い場所に移動する場合に使います。
また山などに順ずる位の人がその位が上がる場合に「登る」は使われます、例えば、中堅クラスの役人や、大学の外部の人から見た大学の教授等です。
「上がる」の使われ方
「上がる」は状態が低い状態から高い状態に移動する場合一般に時に使います。
「温度が上がる」「湿度が上がる」などです。
また、その温度の上がり方や状態の上がり方を大きく捉える場合には「上昇する」といった使い方をしてその「上がる」様子が大きい事をさします。
一般には「上がる」は「登る」「昇る」ほどではない場合一般に使われる事が多いです
「上る」と「登る」と「昇る」の使い方
「上る」と「登る」と「昇る」はそれぞれ、歴史的な背景がありますので、その歴史的な背景を鑑みて使い分けるのが良いでしょう。
文学作品を読むと「昇る」「登る」「上る」の使われ方を見てみましょう、その前後の文章、だれについて書かれているか、どんな状態について書かれているか、それを経験的に覚えてくといいでしょうね
もしわかりにくい場合には「（飛行機が）上昇する」「山登り」「さか上がり」みたいに熟語として使われてるようすから判断するとわかりやすいかもしれません。