結論から言ってしまえば「ぼたもち」も「おはぎ」も同じ食べ物です。
作り方も原材料も同じものです。
ただそれらを食する時期の違いにより、使い分けているのです。
春のお彼岸に食べる場合が「ぼたもち」であり、秋のお彼岸に食べる場合が「おはぎ」と使い分けられます。
「ぼたもち」とは
「ぼたもち」とは春のお彼岸に食べる場合に用いられる言葉であり、その時期に咲く牡丹（ぼたん）の花に見立てたものであり、そこから言葉が転じて「ぼたもち」となったものと考えられます。
ですから「ぼたもち」を漢字で書くと「牡丹餅」となり、それを「ぼたもち」と呼ぶようになったそうです。
漢字で書くと理解しやすいのかもしれません。
「おはぎ」とは
「おはぎ」とは秋のお彼岸に食べる場合に用いられる言葉であり、その時期に咲く萩（はぎ）の花に見立てたものであり、そこから言葉が転じて「おはぎ」となったものとかんがえられます。
ですから「おはぎ」を漢字で書くと「お萩」となり、そこから「おはぎ」として用いられるようになったそうです。
「ぼたもち」と「おはぎ」のあんこについて
「ぼたもち」と「おはぎ」は用いられる原材料は同じですが、そこに用いられるあんこはどうなのでしょうか？
あんこには「粒あん」と「こしあん」とありますが、実は原材料となる小豆の収穫時期によりあんこそのものは使い分けられていたようです。
春のお彼岸は、越冬した小豆を用いますが、皮が固いため「こしあん」にして調理します。
秋のお彼岸は、皮が柔らかい時期に収穫するため、そのまま「粒あん」にして調理します。
そのため「ぼたもり」は「こしあん」、「おはぎ」は「粒あん」だったそうです。
現在の使い分け
以上食する時期や、小豆の収穫時期によりそれぞれ使い分けがなされていましたが、現在はどうなのでしょうか？
和菓子屋店などでは実は「おはぎ」で年中使用する場合が多いそうです。
また現在では、あんこに関しても品種改良や調理技術の進歩により、こしあん・粒あんどちらにも加工調理できるため、さほど明確な違い自体はなくなっているそうです。