デカルト座標で、放物線は、「y = ax^2」で表される式で、懸垂線は、「y = acosh(x/a)」で表される式です「cosh(x) = {e^x+e^(-x)}/2」を意味しています。
どちらも曲線で表される式で形がかなり似ていて見分けることが難しいです。
「放物線」の意味
物理的には、ボールをA地点から、B地点に投げた時の軌道線が放物線になっています。
また、パラボラアンテナは、放物線の集まりである放物面になっており、キャッチした電波を焦点(集中した点)に集めるはたらきがあります。
a>0の場合は下に凸で、a<0の場合は上に凸です。
「懸垂線」の意味
懸垂線とは、A地点からB地点の間にひもやロープなどを持った人がいて、それを垂らした時にできる線です。
この線は、双曲線関数を用いて表すことができ、様々なアートなどで利用される曲線になっています。
懸垂線のAからBの弧長は、sinh(B)-sinh(A) で表すことができます。
「放物線」と「懸垂線」の微積分
放物線は、f(x)=ax^2と表すことができるので、xで微分するとf'(x)=2xとなり、積分するとF(x)=x^3/3+Cとなります。
懸垂線は、f(x)=acosh(x/a)と表すことができるので、xで微分するとf'(x)=sinh(x/a)になり、積分するとF(x)=-x/a^2 cos(x/a)になります。
放物線と懸垂線の概念
放物線と懸垂線は、仕上がり方の概念が全く違いますが、形は似ていて非なるものです。
この偶然が、現代アートや建築技術などのツールとして使われていることを考えると、これらの式を考えた数学者は歴史に名を残す存在になると思います。
放物線から突き詰めて、懸垂線へと発展させていったのだと思います。